Reklama

obliczone.pl

wtorek

Nierówności z liczbami zespolonymi - cz.1 (moduł)

Oto pytanie jakie dostałem od jednego z czytelników bloga:
"Jak rozwiązać taką nierówność z modułem liczby zespolonej: |iz + 1 - 2i| < 3? Gdyby nie było tam iz to wiem, że rozwiązaniem będzie wnętrze koła (bez brzegu), ale co zrobić jak jest iz?"
Zacznijmy od początku...

czyli od nierówności typu

|z - z0| < r

gdzie
  • z - to szukane liczby zespolone, spełniające powyższą nierówność
  • z0 - to podana liczba zespolona (np. z0=1-2i lub z0=i itp.)
  • r - to podana liczba rzeczywista dodatnia (np. r=0.5 lub r=3 itp.)
Przykład:

|z + 1 - 2i| < 3

Zbiór rozwiązań takiej nierówności to wnętrze koła o środku w punkcie z0 oraz promieniu r. W naszym przykładzie mamy:

z0 = -1 + 2i, r = 3

Skąd się wzięło z0=-1+2i? Zauważ, że w schemacie mamy minus przed z0 (|z - z0|<r), więc musimy ten minus uwzględnić przy wyznaczaniu z0. Należy więc najpierw przekształcić naszą nierówność zespoloną do postaci:

 |z - ( -1 + 2i )| < 3

czyli dokładnie tak jak w schemacie

 |z - z0| < r

teraz mamy z0 widoczne jak na dłoni:-)
Oto lekcja video, która pomoże Ci zrozumieć dokładnie o co chodzi w schemacie rozwiązywania nierówności z modułem liczby zespolonej:

Sedno sprawy, czyli pomysł na rozwiązanie nierówności z modułem zespolonym oraz "iz"

Potrafisz już rozwiązać nierówność z modułem typu

|z - z0| < r

Pytanie jak poradzić sobie z nierównością w której pojawia się to nieszczęsne "iz", czyli np.

|iz + 1 - 2i| < 3 

Pomysł jest prostszy niż Ci się wydaje...:-) Wystarczy doprowadzić powyższą nierówność do tej znanej ze schematu - czyli tak, żeby nie było "iz" tylko samo "z". Można to zrobić na dwa różne sposoby:

SPOSÓB 1

1. Zauważmy, że  |i| = |-i| = 1 (moduł jednostki urojonej wynosi 1). Wykorzystajmy to i pomnóżmy obie obie strony naszej nierówności właśnie przez  |-i| (za chwilę zobaczysz dlaczego mnożymy przez |-i| a nie przez |i|...), czyli

|-i| |iz + 1 - 2i| < |-i| 3 

2. Po lewej stronie nierówności korzystamy z własności modułu zespolonego, czyli 

|z1| |z2| = |z1 z2|

u nas                                              z1 = -i,  z2 = iz + 1-2i   

więc

|-i| |iz + 1 - 2i| = |(-i) (iz + 1 - 2i ) | = |z + (-i)(1 - 2i)| = |z  - i - 2|

Stąd ostatecznie otrzymujemy nierówność: 

 |z - (2 + i)| < 3
 
do rozwiązania której wystarczy zastosować omówiony wcześniej schemat |z - z0| < r.

SPOSÓB 2

1.  Wyciągamy i przed nawias:

 |i (z + (1 - 2i) /i)| < 3 

2. Korzystamy z własności modułu zespolonego, czyli 

|z1 z2|=|z1| |z2|

u nas                                              z1 = i,  z2 = z + (1-2i)/i  

stąd                                  |i (z + (1 - 2i) /i) |=|i| |z + (1 - 2i)/i|

Ponieważ  |i|=1, więc otrzymujemy nierówność

|z + ( 1 - 2i )/i| < 3

3. Jak widzisz jesteśmy już blisko znanego schematu. Teraz trzeba jeszcze tylko wykonać dzielenie liczb zespolonych 

(1 - 2i) /i  = 1/i - 2i/i = -i-2

stąd ostatecznie dochodzimy do łatwej nierówności 

 |z - (2 + i)| < 3

do rozwiązania której wystarczy zastosować omówiony wcześniej schemat |z - z0| < r.

Zauważ, że nierówności otrzymane 2 sposobami są dokładnie takie same. Sam(-a) wybierz metodę, która Ci bardziej pasuje:-) Mam nadzieję, że wszystko zrozumiałeś(-aś)? Jak zwykle czekam na pytania  w komentarzach pod tym postem.