Liczby zespolone - wzory i własności w pigułce

Jeśli szukasz wzorów z liczb zespolonych, zgromadzonych w jednym miejscu, to dobrze trafiłeś. Jakie wzory będą Ci najbardziej potrzebne? Oto lista (w kolejności od najważniejszego do najmniej ważnego):

• moduł, sprzężenie i argument liczby zespolonej
• dodawanie, odejmowanie i dzielenie liczb zespolonych (szczególnie ważny jest schemat dzielenia dwóch  liczb zespolonych przez siebie)
• wzór de Moivre'a - służy do potęgowania liczb zespolonych (trzeba najpierw zapisać liczbę zespoloną w postaci trygonometrycznej)
• wzór na postać trygonometryczną
• wzór na pierwiastki zespolone (n-ty pierwiastek z liczby zespolonej oblicza się ze wzoru bardzo podobnego do wzoru de Moivre'a)

Poniżej możesz pobrać plik pdf  gotowy do wydrukowania ze wszystkimi najważniejszymi wzorami i własnościami z zakresu liczb zespolonych. Mam nadzieję, że Ci się przyda:-)

Liczby zespolone - wzory i własności

Napisz proszę w komentarzu, czy wzory z liczb zespolonych okazały się przydatne?
Aha, jeśli chcesz potrenować wykorzystywanie wzorów z liczb zespolonych, to zajrzyj na tą stronę.

Co to jest argument liczby zespolonej? + własności argumentu

Argument liczby zespolonej pojawia się najczęściej w zadaniach dotyczących:

• postaci trygonometrycznej liczby zespolonej (zobacz schemat oraz przykład jak przejść na postać trygonometryczną liczby zespolonej) 
• potęgowania liczb zespolonych przy użyciu wzoru de Moivrea
• równości i nierówności z liczbami zespolonymi (koniecznie trzeba znać interpretację geometryczną argumentu zespolonego)

Argument zespolony, to kąt jaki tworzy promień wodzący liczby zespolonej z dodatnią częścią osi rzeczywistej. Oto Twoja lekcja video z wyjaśnieniem jak interpretować geometrycznie argument liczby zespolonej:


Zobacz również własności argumentu liczby zespolonej oraz argumenty wszystkich liczb zespolonych, które najczęściej pojawiają się w zadaniach. Oto filmik, a reszta materiału znajduje się w linku powyżej.


Jak zwykle chcę zaprosić Cię do pozostawienia komentarza pod tym postem oraz oczywiście do zadawania pytań.

Co to jest moduł liczby zespolonej?

Pojęcie modułu liczby zespolonej pojawia się m.in. w takich zagadnieniach jak:

• postać trygonometryczna liczby zespolonej (czyli przy potęgowaniu liczb zespolonych - wzór de Moivrea)
• w równaniach i nierównościach z liczbami zespolonymi (żeby rozwiązywać takie zadania, trzeba koniecznie wiedzieć jaka jest interpretacja geometryczna modułu liczby zespolonej)

Jak widzisz warto znać pojęcie modułu liczby zespolonej oraz interpretację geometryczną modułu. Oto krótka lekcja (trwa tylko 1,5 minuty) video na temat modułu zespolonego:


Pamiętaj, że moduł liczby zespolonej z, to pierwiastek z sumy kwadratów części rzeczywistej i części urojonej liczby zespolonej.

Jak przejść na postać trygonometryczną liczby zespolonej?

Postać trygonometryczna liczby zespolonej to jedno z kluczowych pojęć na algebrze liniowej. Postać trygonometryczną stosować będziesz przy:

• potęgowaniu liczb zespolonych (przy użyciu wzoru de Moivrea)
• dzieleniu liczb zespolonych (UWAGA: czasami nie trzeba przechodzić na postać trygonometryczną, zobacz jak wykonać dzielenie liczb zespolonych  w postaci algebraicznej)
• rozwiązywaniu równań zespolonych (jest to jedna z możliwych metod, których ogólnie jest minimum 5)

Co trzeba zrobić, żeby zapisać liczbę zespoloną w postaci trygonometrycznej?

• obliczyć moduł liczby zespolonej
• obliczyć argument liczby zespolonej
• zebrać to do kupy, czyli zastosować wzór na postać trygonometryczną...

Wszystko stanie się jasne po obejrzeniu tej lekcji:)


I co sądzisz o tej całej postaci trygonometrycznej - łatwa jest czy trudna? Napisz co myślisz w komentarzu poniżej:)

Co to jest jednostka urojona i jak zapisywać pierwiastki z liczb ujemnych za jej pomocą?

Naukę liczb zespolonych można rozpocząć od zapoznania się z pojęciem jednostki urojonej. W teorii liczb zespolonych tak naprawdę wszystko się zaczyna i kończy na jednostce urojonej... To właśnie jednostka urojona wprowadza nową zupełnie inną "jakość" w stosunku do liczb rzeczywistych.

Zrozumienie czym jest jednostka urojona jest kluczowe w nauce liczb zespolonych, ponieważ to pojcie będzie się pojawiało praktycznie w 100% zadań z zakresu liczb zespolonych. Przekonujący argument prawda:)?

Oto lekcja video z której nauczysz się czym jest jednostka urojona oraz jak wykorzystać ją do zapisywania pieriwiastków z liczb ujemnych (tak nie pomyliłem się... pierwiastki z liczb ujemnych istnieją!)


Naucz się koniecznie zapisywać pierwiastki z liczb ujemnych za pomocą jednostki urojonej. Jest to bardzo ważne, szczególnie przy odpowiedziach do zadań. Jest więcej niż pewne, że starcisz punkty, gdy pozostawisz odpowiedź w postaci pierwiastka z liczby ujemnej... Zapamiętaj tą wskazówkę i zawsze używaj jednostki urojonej zamiast pieriwastków z liczb ujemnych!

Jak wykonać dzielenie liczb zespolonych?

Dzielenie jest najważniejszym działaniem na liczbach zespolonych. Zapytasz pewnie dlaczego ta (jak się wydaje) prosta operacja, jest tak ważna?

1. Może dlatego, że dzielenie liczb zespolonych jednak nie jest aż tak łatwe w porównaniu z dzieleniem "zwykłych" liczb rzeczywistych. 
2. Inny powód jest taki, że dzielenie liczb zespolonych pojawia się w ogromnej ilości zadań, jako element dodatkowy, trochę ukryty, bo go na pierwszy rzut oka wcale nie widać...

Przykładem zadania z liczb zespolonych, do którego rozwiązania niezbędne jest użycie dzielenia liczb zespolonych jest... [ZOBACZ TO VIDEO]

Jak widzisz w treści zadania mieliśmy "Znajdź liczbę zespoloną spełniającą podane równanie", nie było wcale mowy o dzieleniu liczb zespolonych... A jednak zastosowanie dzielenia było niezbędne do rozwiązania tego zadania.

Niestety (albo stety, bo dzielenie nie jest wcale takie trudne:-) to nie pierwszy ani ostatni raz, gdy będzie trzeba użyć dzielenia liczb zespolonych w celu doprowadzenia do końca rozwiązania zadania.

W jakiego typu zadaniach dzielenie będzie pojawiało się njczęściej? Oto przykłady zadań do rozwiązania których będzie trzeba użyć dzielenia liczb zespolonych:

• Narysuj na płaszczyźnie zespolonej zbiór liczb zespolonych spełniających równanie... (i tu masz podany ułamek piętrowy z dwiema liczbami zespolonymi)
• Rozwiąż nierówność z modułem liczby zespolonej... (oczywiście masz nierówność z modułem ułamka zbudowanego z 2 liczb zespolonych)
• Rozwiąż równanie zespolone... (a w równaniu oczywiście ułamek z liczbami zespolonymi)

Zapisz się na darmowy kurs liczb zespolonych i dowiedz się więcej o dzieleniu liczb zespolonych a także o innych ważnych zagadnieniach związanych z liczbami zespolonymi.

Darmowy kurs liczb zespolonych

Zapisz się na darmowy e-mailowy VIDEO kurs liczb zespolonych, którego autorem jest Sebastian Orzeł, zawodowy matematyk z 3 letnim doświadczeniem w prowadzeniu zajęć z algebry liniowej na uczelni wyższej.  Kurs składa się z 4 lekcji z których nauczysz się:

• Podstaw liczb zespolonych: co to jest jednostka urojona oraz postać algebraiczna, jak interpretować geometrycznie liczby zespolone, jak rozwiązać równanie kwadratowe z ujemną deltą
• Jak wykonać dzielenie liczb zespolonych?
• Jakie własności ma argument liczby zespolonej oraz jak rozwiązać równanie i nierówność z modułem liczby zespolonej?
• Jak przejść z postaci algebraicznej do trygonometrycznej? 

Kurs napewno pomoże Ci się lepiej przygotować do kolokwium lub egzaminu. Nauka będzie wygodna, bo lekcje są w formie filmów video. Przekonaj się sam, że liczby zespolone nie są wcale tak trudne jak się wydaje:-)