Reklama

Naukowe metody zwiększania koncentracji i zdolności umysłowych

poniedziałek

Jak w prosty sposób skończyć z odkładaniem nauki matematyki na ostatnią chwilę?

Witaj!

Dziś publikuję dość nietypowy post, ale i okazja jest wyjątkowa:-) Od 13 do 22 marca 2014 roku trwa akcja promocyjna nowego kursu Damiana Redmera, który prowadzi jeden z najlepszych blogów o rozwoju osobistym w Polsce, może znasz blog Rozwojowiec.pl?

Mają pojawić się 3 czy 4 prezentacje, w których Damian uczy jak wykorzystywać proste techniki i strategie (których skuteczność jest potwierdzona naukowo) do pokonania lenia, niechęci czy braku motywacji do nauki, pracy i treningu. Piszę dziś o tym, bo myślę, że ta wiedza może Ci się przydać do pokonania niechęci do nauki matematyki (wiem, że liczby zespolone to dla wielu nic przyjemnego:-).

Pozwól, że zadam Ci pytanie: Czy i Ty wierzysz w to, że brak motywacji jest główną przyczyną odkładania rzeczy na później?

Badania naukowe obalają ten mit, bo prawda jest taka, że wykorzystujemy mnóstwo różnych mechanizmów psychologicznych na swoją niekorzyść, zamiast sprawić, aby nas wspierały i pchały do pracy czy nauki.

W TEJ prezentacji nauczysz się wykorzystywać prostą technikę, która pomoże Ci błyskawicznie zyskać większą ochotę do pracy, treningu i nauki.

Kluczem nie jest zarządzanie czasem, ale... zobacz sam:-)

Kliknij i zobacz koniecznie prezentację Damiana!

(Dostęp do prezentacji otrzymasz po podaniu adresu email)

P.S. Czy wiesz, że zwykły plastikowy żeton używany w kasynach może wpływać na naszą zdolność
samokontroli? A wiesz, co to ma wspólnego z facebookiem?

Zapraszam Cię do prezentacji.

piątek

Jak sprawdzić wynik potęgowania liczb zespolonych w Wolframalpha?

W ostatnim poście pokazałem wam na przykładzie jak potęgować liczby zespolone za pomocą wzoru de Moivre'a.

Dzisiaj pokażę wam jak sprawdzić swoje obliczenia za pomocą strony wolframalpha.com.

Jak wpisywać liczby zespolone do kalkulatora Wolframa?


To proste, np. wyrażenie
jak potęgować liczby zespolone 
wpiszemy za pomocą kodu

((3^0.5) / 2 + 0.5 i)^24

Kliknij i zobacz wynik na stronie wolframa.

Kilka wskazówek na temat "języka" wolframa

 

  • wolfram rozumie, że "i" to jednostka urojona:-)
  • dodawanie, odejmowanie i mnożenie wpisujemy za pomocą standardowych symboli, tj."+, -, *"
  • dzielenie wpisujemy za pomocą znaku "/" np. 2/3 (2 dzielone przez 3)
  • potęgowanie wpisujemy za pomocą znaku "^", np 2^3 (2 do potęgi 3)
  • na kolejność działań możemy wpływać przez używanie nawiasów, np. (2+3)(3/4) oznacza, że najpierw wykonujemy dodawanie a potem mnożenie przez liczbę trzy czwarte

Kalkulator wolframa możesz wykorzystać z powodzeniem do sprawdzania innych obliczeń matematycznych:-)

Wzór de Moivrea - zadanie z rozwiązaniem krok po kroku

Dziś krótko, zwięźle i na temat. Oto przykład potęgowania liczby zespolonej przy użyciu wzoru de Moivre'a. Treść zadania brzmi po prostu:
Oblicz

oblicz potęgę liczby zespolonej
Rozwiązanie:

Wzór de Moivrea - potęgowanie liczb zespolonych
W powyższym potęgowaniu liczby zespolonej używamy:
Mam nadzieję, że wszystko jasne, jeśli nie to Twoja strata;P
Żartowałem, jeśli nie rozumiesz to zadaj pytanie w komentarzu poniżej, postaram się wyjaśnić to bardziej szczegółowo.

sobota

Pierwiastki zespolone z 1 - przykład krok po kroku

Na kolokwium z liczb zespolonych często spotkacie się z TYM zadaniem.... 
Wyznacz elementy pierwiastka 6 stopnia z 1. 

Oto rozwiązanie krok po kroku:
Pamiętajcie, że pierwiastków zespolonych n-tego stopnia jest zawsze n! Np. tak jak w zadaniu wyżej mamy 6 elementów pierwiastka 6-tego stopnia z jedynki.

Więcej tego typu zadań znajdziecie na http://obliczone.pl/zadania/liczby-zespolone

piątek

Zadania z rozwiązaniami z liczb zespolonych

Pewnie zdążyłeś(-aś) już zauważyć, że sama nauka teorii z liczb zespolonych nie wystarczy, bo na kolokwiach i egzaminach sprawdzana jest umiejętność rozwiązywania zadań.
Nawet doskonała znajomość teorii nie gwarantuje zdanego kolokwium, chociaż napewno bardzo ułatwi zrozumienie schematów rozwiązywania zadań.
Jeśli chcesz nauczyć się rozwiązywać zadania to zobacz jak uczyć się matematyki.
Następnie zobacz świetną stronę internetową zawierającą zadania z matematyki z rozwiązaniami.
Jeśli masz zbyt duże braki z matematyki, żeby samodzielnie przedzierać się przez rozwiązania zadań, to polecam kurs liczb zespolonych.

Zapamiętaj:
Żeby nauczyć się rozwiązywać zadania liczb zespolonych, nie wystarczy nauczyć się na pamięć kilku schematów, trzeba to po prostu zrozumieć:)   

środa

Jak znaleźć pierwiastki zespolone równania kwadratowego z ujemną deltą?

W tym krótkim poście pokażę Ci jak rozwiązać równanie kwadratowe gdy delta jest mniejsza od zera.
Jak pamiętasz ze szkoły średniej równanie kwadratowe może mieć 1 (gdy delta jest równa zero) lub 2 (gdy delta jest dodatnia) rozwiązania rzeczywiste. Gdy delta jest ujamna, to równanie kwadratowe nie ma rozwiązań rzeczywistych, ale... no właśnie, gdy delta jest mnijsza od zera to równanie kwadratowe ma rozwiązania zespolone (inaczej zwane pierwiastkami zespolonymi).

Najprostszym przykładem równania kwadratowego z ujemną deltą jest równanie x do kwadratu plus 1 równa się 0. Równanie takie ma 2 pierwiastki zespolone: -i oraz i (jednostka urojona). W poniższym filmiku pokażę Ci jak rozwiązać takie najprostsze równanie kwadratowe z ujemną deltą:

Po obejrzeniu najprostszego przykładu równania, które ma zespolone pierwiastki czas na ogólną metodę rozwiązywania równań kwadratowych z ujemną deltą:

 

Podsumowanie -schemat obliczania pierwiastków zespolonych równania kwadratowego 

  1. Oblicz deltę korzystając ze wzoru podanego w powyższym filmiku video (wzorek łatwy, znany ze szkoły średniej)
  2.  Jeżeli delta jest równa zero lub dodatnia, to zastosuj znane ze szkoły średniej wzory na rozwiązania.
  3. Gdy delta jest ujemna, to równanie kwadratowe ma zawsze 2 pierwiastki zespolone (drugi jest zawsze sprzężeniem pierwszego). Zastosuj wzór podobny do tego z punktu 2 (pamiętaj o jednostce urojonej).
Mam nadzieję, że umiesz już obliczać pierwiastki zespolone dwumianu kwadratowego. Jeśli masz jakieś pytania, lub coś było niejasne, to zapraszam do pozostawienia komentarza pod tym postem.

wtorek

Nierówności z liczbami zespolonymi - cz.1 (moduł)

Oto pytanie jakie dostałem od jednego z czytelników bloga:
"Jak rozwiązać taką nierówność z modułem liczby zespolonej: |iz + 1 - 2i| < 3? Gdyby nie było tam iz to wiem, że rozwiązaniem będzie wnętrze koła (bez brzegu), ale co zrobić jak jest iz?"
Zacznijmy od początku...

czyli od nierówności typu

|z - z0| < r

gdzie
  • z - to szukane liczby zespolone, spełniające powyższą nierówność
  • z0 - to podana liczba zespolona (np. z0=1-2i lub z0=i itp.)
  • r - to podana liczba rzeczywista dodatnia (np. r=0.5 lub r=3 itp.)
Przykład:

|z + 1 - 2i| < 3

Zbiór rozwiązań takiej nierówności to wnętrze koła o środku w punkcie z0 oraz promieniu r. W naszym przykładzie mamy:

z0 = -1 + 2i, r = 3

Skąd się wzięło z0=-1+2i? Zauważ, że w schemacie mamy minus przed z0 (|z - z0|<r), więc musimy ten minus uwzględnić przy wyznaczaniu z0. Należy więc najpierw przekształcić naszą nierówność zespoloną do postaci:

 |z - ( -1 + 2i )| < 3

czyli dokładnie tak jak w schemacie

 |z - z0| < r

teraz mamy z0 widoczne jak na dłoni:-)
Oto lekcja video, która pomoże Ci zrozumieć dokładnie o co chodzi w schemacie rozwiązywania nierówności z modułem liczby zespolonej:

Sedno sprawy, czyli pomysł na rozwiązanie nierówności z modułem zespolonym oraz "iz"

Potrafisz już rozwiązać nierówność z modułem typu

|z - z0| < r

Pytanie jak poradzić sobie z nierównością w której pojawia się to nieszczęsne "iz", czyli np.

|iz + 1 - 2i| < 3 

Pomysł jest prostszy niż Ci się wydaje...:-) Wystarczy doprowadzić powyższą nierówność do tej znanej ze schematu - czyli tak, żeby nie było "iz" tylko samo "z". Można to zrobić na dwa różne sposoby:

SPOSÓB 1

1. Zauważmy, że  |i| = |-i| = 1 (moduł jednostki urojonej wynosi 1). Wykorzystajmy to i pomnóżmy obie obie strony naszej nierówności właśnie przez  |-i| (za chwilę zobaczysz dlaczego mnożymy przez |-i| a nie przez |i|...), czyli

|-i| |iz + 1 - 2i| < |-i| 3 

2. Po lewej stronie nierówności korzystamy z własności modułu zespolonego, czyli 

|z1| |z2| = |z1 z2|

u nas                                              z1 = -i,  z2 = iz + 1-2i   

więc

|-i| |iz + 1 - 2i| = |(-i) (iz + 1 - 2i ) | = |z + (-i)(1 - 2i)| = |z  - i - 2|

Stąd ostatecznie otrzymujemy nierówność: 

 |z - (2 + i)| < 3
 
do rozwiązania której wystarczy zastosować omówiony wcześniej schemat |z - z0| < r.

SPOSÓB 2

1.  Wyciągamy i przed nawias:

 |i (z + (1 - 2i) /i)| < 3 

2. Korzystamy z własności modułu zespolonego, czyli 

|z1 z2|=|z1| |z2|

u nas                                              z1 = i,  z2 = z + (1-2i)/i  

stąd                                  |i (z + (1 - 2i) /i) |=|i| |z + (1 - 2i)/i|

Ponieważ  |i|=1, więc otrzymujemy nierówność

|z + ( 1 - 2i )/i| < 3

3. Jak widzisz jesteśmy już blisko znanego schematu. Teraz trzeba jeszcze tylko wykonać dzielenie liczb zespolonych 

(1 - 2i) /i  = 1/i - 2i/i = -i-2

stąd ostatecznie dochodzimy do łatwej nierówności 

 |z - (2 + i)| < 3

do rozwiązania której wystarczy zastosować omówiony wcześniej schemat |z - z0| < r.

Zauważ, że nierówności otrzymane 2 sposobami są dokładnie takie same. Sam(-a) wybierz metodę, która Ci bardziej pasuje:-) Mam nadzieję, że wszystko zrozumiałeś(-aś)? Jak zwykle czekam na pytania  w komentarzach pod tym postem.