Oblicz
Rozwiązanie:
- postaci trygonometrycznej liczby zespolonej
- wzoru de Moivre'a
- własności funkcji trygonometrycznych (sinus i cosinus)
Żartowałem, jeśli nie rozumiesz to zadaj pytanie w komentarzu poniżej, postaram się wyjaśnić to bardziej szczegółowo.
Witam, napotkałam podobny przykład a mianowicie: (1+i / 1+(3^0.5)i)^7
OdpowiedzUsuńUdało mi się przejść do postaci trygonometrycznej i otrzymałam:
(2^0.5)/16 * (cos 7pi/12 + isin 7pi/12)
Moje pytanie: jak rozwiązać ten przykład dalej, jak zredukować tego sinusa i cosinusa?
Witam, mamy
Usuń1+i=2^0.5(cos pi/4+i sin pi/4)
1+3^0.5i=2(cos pi/3+isin pi/3)
stąd
(1+i / 1+(3^0.5)i)^7= (2^0.5(cos pi/4+i sin pi/4)/2(cos pi/3+isin pi/3))^7=2^0.5/16 (cos(-pi/12)+i sin(-pi/12))=2^0.5/16 (cos(pi/12)-i sin(pi/12))
ostatnia równość wynika z postaci wykresów funkcji sin i cos (proszę spróbować je narysować na przedziale [-pi/2,pi/2])
i teraz trzeba odczytać wartości sin i cos kąta pi/12 z tablic matematycznych lub obliczyć to na kalkulatorze (który posiada taką funkcję), można użyć też programu wolframalpha.com
To co Pani napisała jest równoważne mojemu zapisowi, ponieważ
(2^0.5)/16 * (cos 7pi/12 + isin 7pi/12)=(2^0.5)/16 * (cos(pi/2+pi/12) + i*sin (pi/2+pi/12))=2^0.5/16 (cos(pi/12)-i sin(pi/12))
w ostatniej równości korzystamy ze wzorów redukcyjnych kąta leżącego w 2 ćwiartce.
Polecam zobaczyć jeszcze rozwiązanie tego zadania, które jest bardzo podobne do Pani przykładu.