Zadania z rozwiązaniami z liczb zespolonych

Pewnie zdążyłeś(-aś) już zauważyć, że sama nauka teorii z liczb zespolonych nie wystarczy, bo na kolokwiach i egzaminach sprawdzana jest umiejętność rozwiązywania zadań.
Nawet doskonała znajomość teorii nie gwarantuje zdanego kolokwium, chociaż napewno bardzo ułatwi zrozumienie schematów rozwiązywania zadań.
Jeśli chcesz nauczyć się rozwiązywać zadania to zobacz jak uczyć się matematyki.
Następnie zobacz świetną stronę internetową zawierającą zadania z matematyki z rozwiązaniami.
Jeśli masz zbyt duże braki z matematyki, żeby samodzielnie przedzierać się przez rozwiązania zadań, to polecam kurs liczb zespolonych.

Zapamiętaj:
Żeby nauczyć się rozwiązywać zadania liczb zespolonych, nie wystarczy nauczyć się na pamięć kilku schematów, trzeba to po prostu zrozumieć:)   

Jak znaleźć pierwiastki zespolone równania kwadratowego z ujemną deltą?

W tym krótkim poście pokażę Ci jak rozwiązać równanie kwadratowe gdy delta jest mniejsza od zera.
Jak pamiętasz ze szkoły średniej równanie kwadratowe może mieć 1 (gdy delta jest równa zero) lub 2 (gdy delta jest dodatnia) rozwiązania rzeczywiste. Gdy delta jest ujamna, to równanie kwadratowe nie ma rozwiązań rzeczywistych, ale... no właśnie, gdy delta jest mnijsza od zera to równanie kwadratowe ma rozwiązania zespolone (inaczej zwane pierwiastkami zespolonymi).

Najprostszym przykładem równania kwadratowego z ujemną deltą jest równanie x do kwadratu plus 1 równa się 0. Równanie takie ma 2 pierwiastki zespolone: -i oraz i (jednostka urojona). W poniższym filmiku pokażę Ci jak rozwiązać takie najprostsze równanie kwadratowe z ujemną deltą:

Po obejrzeniu najprostszego przykładu równania, które ma zespolone pierwiastki czas na ogólną metodę rozwiązywania równań kwadratowych z ujemną deltą:

 

Podsumowanie -schemat obliczania pierwiastków zespolonych równania kwadratowego 

1. Oblicz deltę korzystając ze wzoru podanego w powyższym filmiku video (wzorek łatwy, znany ze szkoły średniej)
2.  Jeżeli delta jest równa zero lub dodatnia, to zastosuj znane ze szkoły średniej wzory na rozwiązania.
3. Gdy delta jest ujemna, to równanie kwadratowe ma zawsze 2 pierwiastki zespolone (drugi jest zawsze sprzężeniem pierwszego). Zastosuj wzór podobny do tego z punktu 2 (pamiętaj o jednostce urojonej).

Mam nadzieję, że umiesz już obliczać pierwiastki zespolone dwumianu kwadratowego. Jeśli masz jakieś pytania, lub coś było niejasne, to zapraszam do pozostawienia komentarza pod tym postem.

Nierówności z liczbami zespolonymi - cz.1 (moduł)

Oto pytanie jakie dostałem od jednego z czytelników bloga:

"Jak rozwiązać taką nierówność z modułem liczby zespolonej: |iz + 1 - 2i| < 3? Gdyby nie było tam iz to wiem, że rozwiązaniem będzie wnętrze koła (bez brzegu), ale co zrobić jak jest iz?"

Zacznijmy od początku...

czyli od nierówności typu

|z - z0| < r

gdzie

• z - to szukane liczby zespolone, spełniające powyższą nierówność
• z0 - to podana liczba zespolona (np. z0=1-2i lub z0=i itp.)
• r - to podana liczba rzeczywista dodatnia (np. r=0.5 lub r=3 itp.)

Przykład:

|z + 1 - 2i| < 3

Zbiór rozwiązań takiej nierówności to wnętrze koła o środku w punkcie z0 oraz promieniu r. W naszym przykładzie mamy:

z0 = -1 + 2i, r = 3

Skąd się wzięło z0=-1+2i? Zauważ, że w schemacie mamy minus przed z0 (|z - z0|<r), więc musimy ten minus uwzględnić przy wyznaczaniu z0. Należy więc najpierw przekształcić naszą nierówność zespoloną do postaci:

 |z - ( -1 + 2i )| < 3

czyli dokładnie tak jak w schemacie

 |z - z0| < r

teraz mamy z0 widoczne jak na dłoni:-)

Oto lekcja video, która pomoże Ci zrozumieć dokładnie o co chodzi w schemacie rozwiązywania nierówności z modułem liczby zespolonej:

Sedno sprawy, czyli pomysł na rozwiązanie nierówności z modułem zespolonym oraz "iz"

Potrafisz już rozwiązać nierówność z modułem typu

|z - z0| < r

Pytanie jak poradzić sobie z nierównością w której pojawia się to nieszczęsne "iz", czyli np.

|iz + 1 - 2i| < 3 

Pomysł jest prostszy niż Ci się wydaje...:-) Wystarczy doprowadzić powyższą nierówność do tej znanej ze schematu - czyli tak, żeby nie było "iz" tylko samo "z". Można to zrobić na dwa różne sposoby:

SPOSÓB 1

1. Zauważmy, że  |i| = |-i| = 1 (moduł jednostki urojonej wynosi 1). Wykorzystajmy to i pomnóżmy obie obie strony naszej nierówności właśnie przez  |-i| (za chwilę zobaczysz dlaczego mnożymy przez |-i| a nie przez |i|...), czyli

|-i| |iz + 1 - 2i| < |-i| 3 

2. Po lewej stronie nierówności korzystamy z własności modułu zespolonego, czyli 

|z1| |z2| = |z1 z2|

u nas                                              z1 = -i,  z2 = iz + 1-2i   

więc

|-i| |iz + 1 - 2i| = |(-i) (iz + 1 - 2i ) | = |z + (-i)(1 - 2i)| = |z  - i - 2|

Stąd ostatecznie otrzymujemy nierówność: 

 |z - (2 + i)| < 3

 

do rozwiązania której wystarczy zastosować omówiony wcześniej schemat |z - z0| < r.

SPOSÓB 2

1.  Wyciągamy i przed nawias:

 |i (z + (1 - 2i) /i)| < 3 

2. Korzystamy z własności modułu zespolonego, czyli 

|z1 z2|=|z1| |z2|

u nas                                              z1 = i,  z2 = z + (1-2i)/i  

stąd                                  |i (z + (1 - 2i) /i) |=|i| |z + (1 - 2i)/i|

Ponieważ  |i|=1, więc otrzymujemy nierówność

|z + ( 1 - 2i )/i| < 3

3. Jak widzisz jesteśmy już blisko znanego schematu. Teraz trzeba jeszcze tylko wykonać dzielenie liczb zespolonych 

(1 - 2i) /i  = 1/i - 2i/i = -i-2

stąd ostatecznie dochodzimy do łatwej nierówności 

 |z - (2 + i)| < 3

do rozwiązania której wystarczy zastosować omówiony wcześniej schemat |z - z0| < r.

Zauważ, że nierówności otrzymane 2 sposobami są dokładnie takie same. Sam(-a) wybierz metodę, która Ci bardziej pasuje:-) Mam nadzieję, że wszystko zrozumiałeś(-aś)? Jak zwykle czekam na pytania  w komentarzach pod tym postem.

 

Liczby zespolone - wzory i własności w pigułce

Jeśli szukasz wzorów z liczb zespolonych, zgromadzonych w jednym miejscu, to dobrze trafiłeś. Jakie wzory będą Ci najbardziej potrzebne? Oto lista (w kolejności od najważniejszego do najmniej ważnego):

• moduł, sprzężenie i argument liczby zespolonej
• dodawanie, odejmowanie i dzielenie liczb zespolonych (szczególnie ważny jest schemat dzielenia dwóch  liczb zespolonych przez siebie)
• wzór de Moivre'a - służy do potęgowania liczb zespolonych (trzeba najpierw zapisać liczbę zespoloną w postaci trygonometrycznej)
• wzór na postać trygonometryczną
• wzór na pierwiastki zespolone (n-ty pierwiastek z liczby zespolonej oblicza się ze wzoru bardzo podobnego do wzoru de Moivre'a)

Poniżej możesz pobrać plik pdf  gotowy do wydrukowania ze wszystkimi najważniejszymi wzorami i własnościami z zakresu liczb zespolonych. Mam nadzieję, że Ci się przyda:-)

Liczby zespolone - wzory i własności

Napisz proszę w komentarzu, czy wzory z liczb zespolonych okazały się przydatne?
Aha, jeśli chcesz potrenować wykorzystywanie wzorów z liczb zespolonych, to zajrzyj na tą stronę.

Co to jest argument liczby zespolonej? + własności argumentu

Argument liczby zespolonej pojawia się najczęściej w zadaniach dotyczących:

• postaci trygonometrycznej liczby zespolonej (zobacz schemat oraz przykład jak przejść na postać trygonometryczną liczby zespolonej) 
• potęgowania liczb zespolonych przy użyciu wzoru de Moivrea
• równości i nierówności z liczbami zespolonymi (koniecznie trzeba znać interpretację geometryczną argumentu zespolonego)

Argument zespolony, to kąt jaki tworzy promień wodzący liczby zespolonej z dodatnią częścią osi rzeczywistej. Oto Twoja lekcja video z wyjaśnieniem jak interpretować geometrycznie argument liczby zespolonej:


Zobacz również własności argumentu liczby zespolonej oraz argumenty wszystkich liczb zespolonych, które najczęściej pojawiają się w zadaniach. Oto filmik, a reszta materiału znajduje się w linku powyżej.


Jak zwykle chcę zaprosić Cię do pozostawienia komentarza pod tym postem oraz oczywiście do zadawania pytań.

Co to jest moduł liczby zespolonej?

Pojęcie modułu liczby zespolonej pojawia się m.in. w takich zagadnieniach jak:

• postać trygonometryczna liczby zespolonej (czyli przy potęgowaniu liczb zespolonych - wzór de Moivrea)
• w równaniach i nierównościach z liczbami zespolonymi (żeby rozwiązywać takie zadania, trzeba koniecznie wiedzieć jaka jest interpretacja geometryczna modułu liczby zespolonej)

Jak widzisz warto znać pojęcie modułu liczby zespolonej oraz interpretację geometryczną modułu. Oto krótka lekcja (trwa tylko 1,5 minuty) video na temat modułu zespolonego:


Pamiętaj, że moduł liczby zespolonej z, to pierwiastek z sumy kwadratów części rzeczywistej i części urojonej liczby zespolonej.

Jak przejść na postać trygonometryczną liczby zespolonej?

Postać trygonometryczna liczby zespolonej to jedno z kluczowych pojęć na algebrze liniowej. Postać trygonometryczną stosować będziesz przy:

• potęgowaniu liczb zespolonych (przy użyciu wzoru de Moivrea)
• dzieleniu liczb zespolonych (UWAGA: czasami nie trzeba przechodzić na postać trygonometryczną, zobacz jak wykonać dzielenie liczb zespolonych  w postaci algebraicznej)
• rozwiązywaniu równań zespolonych (jest to jedna z możliwych metod, których ogólnie jest minimum 5)

Co trzeba zrobić, żeby zapisać liczbę zespoloną w postaci trygonometrycznej?

• obliczyć moduł liczby zespolonej
• obliczyć argument liczby zespolonej
• zebrać to do kupy, czyli zastosować wzór na postać trygonometryczną...

Wszystko stanie się jasne po obejrzeniu tej lekcji:)


I co sądzisz o tej całej postaci trygonometrycznej - łatwa jest czy trudna? Napisz co myślisz w komentarzu poniżej:)

Co to jest jednostka urojona i jak zapisywać pierwiastki z liczb ujemnych za jej pomocą?

Naukę liczb zespolonych można rozpocząć od zapoznania się z pojęciem jednostki urojonej. W teorii liczb zespolonych tak naprawdę wszystko się zaczyna i kończy na jednostce urojonej... To właśnie jednostka urojona wprowadza nową zupełnie inną "jakość" w stosunku do liczb rzeczywistych.

Zrozumienie czym jest jednostka urojona jest kluczowe w nauce liczb zespolonych, ponieważ to pojcie będzie się pojawiało praktycznie w 100% zadań z zakresu liczb zespolonych. Przekonujący argument prawda:)?

Oto lekcja video z której nauczysz się czym jest jednostka urojona oraz jak wykorzystać ją do zapisywania pieriwiastków z liczb ujemnych (tak nie pomyliłem się... pierwiastki z liczb ujemnych istnieją!)


Naucz się koniecznie zapisywać pierwiastki z liczb ujemnych za pomocą jednostki urojonej. Jest to bardzo ważne, szczególnie przy odpowiedziach do zadań. Jest więcej niż pewne, że starcisz punkty, gdy pozostawisz odpowiedź w postaci pierwiastka z liczby ujemnej... Zapamiętaj tą wskazówkę i zawsze używaj jednostki urojonej zamiast pieriwastków z liczb ujemnych!

Jak wykonać dzielenie liczb zespolonych?

Dzielenie jest najważniejszym działaniem na liczbach zespolonych. Zapytasz pewnie dlaczego ta (jak się wydaje) prosta operacja, jest tak ważna?

1. Może dlatego, że dzielenie liczb zespolonych jednak nie jest aż tak łatwe w porównaniu z dzieleniem "zwykłych" liczb rzeczywistych. 
2. Inny powód jest taki, że dzielenie liczb zespolonych pojawia się w ogromnej ilości zadań, jako element dodatkowy, trochę ukryty, bo go na pierwszy rzut oka wcale nie widać...

Przykładem zadania z liczb zespolonych, do którego rozwiązania niezbędne jest użycie dzielenia liczb zespolonych jest... [ZOBACZ TO VIDEO]

Jak widzisz w treści zadania mieliśmy "Znajdź liczbę zespoloną spełniającą podane równanie", nie było wcale mowy o dzieleniu liczb zespolonych... A jednak zastosowanie dzielenia było niezbędne do rozwiązania tego zadania.

Niestety (albo stety, bo dzielenie nie jest wcale takie trudne:-) to nie pierwszy ani ostatni raz, gdy będzie trzeba użyć dzielenia liczb zespolonych w celu doprowadzenia do końca rozwiązania zadania.

W jakiego typu zadaniach dzielenie będzie pojawiało się njczęściej? Oto przykłady zadań do rozwiązania których będzie trzeba użyć dzielenia liczb zespolonych:

• Narysuj na płaszczyźnie zespolonej zbiór liczb zespolonych spełniających równanie... (i tu masz podany ułamek piętrowy z dwiema liczbami zespolonymi)
• Rozwiąż nierówność z modułem liczby zespolonej... (oczywiście masz nierówność z modułem ułamka zbudowanego z 2 liczb zespolonych)
• Rozwiąż równanie zespolone... (a w równaniu oczywiście ułamek z liczbami zespolonymi)

Zapisz się na darmowy kurs liczb zespolonych i dowiedz się więcej o dzieleniu liczb zespolonych a także o innych ważnych zagadnieniach związanych z liczbami zespolonymi.

Darmowy kurs liczb zespolonych

Zapisz się na darmowy e-mailowy VIDEO kurs liczb zespolonych, którego autorem jest Sebastian Orzeł, zawodowy matematyk z 3 letnim doświadczeniem w prowadzeniu zajęć z algebry liniowej na uczelni wyższej.  Kurs składa się z 4 lekcji z których nauczysz się:

• Podstaw liczb zespolonych: co to jest jednostka urojona oraz postać algebraiczna, jak interpretować geometrycznie liczby zespolone, jak rozwiązać równanie kwadratowe z ujemną deltą
• Jak wykonać dzielenie liczb zespolonych?
• Jakie własności ma argument liczby zespolonej oraz jak rozwiązać równanie i nierówność z modułem liczby zespolonej?
• Jak przejść z postaci algebraicznej do trygonometrycznej? 

Kurs napewno pomoże Ci się lepiej przygotować do kolokwium lub egzaminu. Nauka będzie wygodna, bo lekcje są w formie filmów video. Przekonaj się sam, że liczby zespolone nie są wcale tak trudne jak się wydaje:-)

Jak się uczyć liczb zespolonych? cz. 2

W pierwszej cześci omówiliśmy podstawowe pojęcia z zakresu liczb zespolonych a przede wszystkim:

• jednostka urojona
• postać algebraiczna liczby zespolone
• część rzeczywista i urojona

Przechodzimy teraz do bardziej skomplikowanych zagadnień...
Oto videolekcja z której można się dowiedzieć jaka jest interpretacja geometryczna liczby zespolonej oraz co to jest płaszczyzna zespolona?


W 2 filmie poznamy inne sposoby reprezentacji liczb zespolonych, tj. postać trygonometryczna i wykładnicza.


Na koniec 3 konkretne zadania z rozwiązaniami krok po kroku, które pomogą w powtórzeniu poznanych pojęć z zakresu liczb zespolonych. Zadania dotyczą części rzeczywistej i urojonej oraz interpretacji geometrycznej liczb zespolonych.


Mam nadzieję, że liczby zespolone są teraz dużo łatwiejsze. Zapraszam do dzielenia się wrażeniami odnośnie liczb zespolonych oraz zadawania pytań w komentarzach.

Jak się uczyć liczb zespolonych? cz. 1

Liczby zespolone to bez wątpienia zmora wielu studentów i nic dziwnego, bo jak to niby możliwe, że istnieje pierwiastek z liczby ujemnej? Jednostka urojona wydaje się być rzeczywiście urojonym pomysłem jakiegoś szalonego matematyka. Większość osób rozpoczynających przygodę z liczbami zespolonymi nie jest niestety świadoma, że mają one wiele zastosowań w praktyce. Zobacz sam do czego stosuje się liczby zespolone...

Gdy już uwierzysz w to, że liczby zespolone istnieją i mają wiele ważnych zastosowań, możesz spróbować zrozumieć czym jest jednostka urojona oraz poznać sposób zapisywania dowolnego pierwiastka z liczby ujemnej za pomocą jednostki urojonej



Kolejny etap w nauce liczb zespolonych to zapoznanie się z podstawowymi oznaczeniami najczęściej stosowanymi w zadaniach


Pora poznać definicję liczby zespolonej w postaci algebraicznej, która składa się z części rzeczywistej i urojonej


Teraz czas na małe fajerwerki, czyli rozwiązanie równania kwadratowego z ujemną deltą za pomocą liczb zespolonych


Po kilkukrotnym przejrzeniu zamieszczonych tutaj videolekcji liczby zespolone powinny stać się dużo łatwiejsze do ogarnięcia. Proponuję przerwać na razie naukę liczb zespolonych, bo co za dużo to niezdrowo:-) Jeśli jednak nie masz dość, to zapraszam do 2 części lekcji z liczb zespolonych w której poznasz interpretację geometryczną liczby zespolonej oraz pojęcie płaszczyzny zespolonej, a także inne pojęcia związane z liczbami zespolonymi (postać trygonometryczna i wykładnicza).