Liczby zespolone - wzory i własności w pigułce

Jeśli szukasz wzorów z liczb zespolonych, zgromadzonych w jednym miejscu, to dobrze trafiłeś. Jakie wzory będą Ci najbardziej potrzebne? Oto lista (w kolejności od najważniejszego do najmniej ważnego):

• moduł, sprzężenie i argument liczby zespolonej
• dodawanie, odejmowanie i dzielenie liczb zespolonych (szczególnie ważny jest schemat dzielenia dwóch  liczb zespolonych przez siebie)
• wzór de Moivre'a - służy do potęgowania liczb zespolonych (trzeba najpierw zapisać liczbę zespoloną w postaci trygonometrycznej)
• wzór na postać trygonometryczną
• wzór na pierwiastki zespolone (n-ty pierwiastek z liczby zespolonej oblicza się ze wzoru bardzo podobnego do wzoru de Moivre'a)

Poniżej możesz pobrać plik pdf  gotowy do wydrukowania ze wszystkimi najważniejszymi wzorami i własnościami z zakresu liczb zespolonych. Mam nadzieję, że Ci się przyda:-)

Liczby zespolone - wzory i własności

Napisz proszę w komentarzu, czy wzory z liczb zespolonych okazały się przydatne?
Aha, jeśli chcesz potrenować wykorzystywanie wzorów z liczb zespolonych, to zajrzyj na tą stronę.

Co to jest argument liczby zespolonej? + własności argumentu

Argument liczby zespolonej pojawia się najczęściej w zadaniach dotyczących:

• postaci trygonometrycznej liczby zespolonej (zobacz schemat oraz przykład jak przejść na postać trygonometryczną liczby zespolonej) 
• potęgowania liczb zespolonych przy użyciu wzoru de Moivrea
• równości i nierówności z liczbami zespolonymi (koniecznie trzeba znać interpretację geometryczną argumentu zespolonego)

Argument zespolony, to kąt jaki tworzy promień wodzący liczby zespolonej z dodatnią częścią osi rzeczywistej. Oto Twoja lekcja video z wyjaśnieniem jak interpretować geometrycznie argument liczby zespolonej:


Zobacz również własności argumentu liczby zespolonej oraz argumenty wszystkich liczb zespolonych, które najczęściej pojawiają się w zadaniach. Oto filmik, a reszta materiału znajduje się w linku powyżej.


Jak zwykle chcę zaprosić Cię do pozostawienia komentarza pod tym postem oraz oczywiście do zadawania pytań.

Co to jest moduł liczby zespolonej?

Pojęcie modułu liczby zespolonej pojawia się m.in. w takich zagadnieniach jak:

• postać trygonometryczna liczby zespolonej (czyli przy potęgowaniu liczb zespolonych - wzór de Moivrea)
• w równaniach i nierównościach z liczbami zespolonymi (żeby rozwiązywać takie zadania, trzeba koniecznie wiedzieć jaka jest interpretacja geometryczna modułu liczby zespolonej)

Jak widzisz warto znać pojęcie modułu liczby zespolonej oraz interpretację geometryczną modułu. Oto krótka lekcja (trwa tylko 1,5 minuty) video na temat modułu zespolonego:


Pamiętaj, że moduł liczby zespolonej z, to pierwiastek z sumy kwadratów części rzeczywistej i części urojonej liczby zespolonej.

Jak przejść na postać trygonometryczną liczby zespolonej?

Postać trygonometryczna liczby zespolonej to jedno z kluczowych pojęć na algebrze liniowej. Postać trygonometryczną stosować będziesz przy:

• potęgowaniu liczb zespolonych (przy użyciu wzoru de Moivrea)
• dzieleniu liczb zespolonych (UWAGA: czasami nie trzeba przechodzić na postać trygonometryczną, zobacz jak wykonać dzielenie liczb zespolonych  w postaci algebraicznej)
• rozwiązywaniu równań zespolonych (jest to jedna z możliwych metod, których ogólnie jest minimum 5)

Co trzeba zrobić, żeby zapisać liczbę zespoloną w postaci trygonometrycznej?

• obliczyć moduł liczby zespolonej
• obliczyć argument liczby zespolonej
• zebrać to do kupy, czyli zastosować wzór na postać trygonometryczną...

Wszystko stanie się jasne po obejrzeniu tej lekcji:)


I co sądzisz o tej całej postaci trygonometrycznej - łatwa jest czy trudna? Napisz co myślisz w komentarzu poniżej:)