"Jak rozwiązać taką nierówność z modułem liczby zespolonej: |iz + 1 - 2i| < 3? Gdyby nie było tam iz to wiem, że rozwiązaniem będzie wnętrze koła (bez brzegu), ale co zrobić jak jest iz?"Zacznijmy od początku...
czyli od nierówności typu
|z - z0| < r
gdzie
- z - to szukane liczby zespolone, spełniające powyższą nierówność
- z0 - to podana liczba zespolona (np. z0=1-2i lub z0=i itp.)
- r - to podana liczba rzeczywista dodatnia (np. r=0.5 lub r=3 itp.)
|z + 1 - 2i| < 3
Zbiór rozwiązań takiej nierówności to wnętrze koła o środku w punkcie z0 oraz promieniu r. W naszym przykładzie mamy:
z0 = -1 + 2i, r = 3
Skąd się wzięło z0=-1+2i? Zauważ, że w schemacie mamy minus przed z0 (|z - z0|<r), więc musimy ten minus uwzględnić przy wyznaczaniu z0. Należy więc najpierw przekształcić naszą nierówność zespoloną do postaci:
|z - ( -1 + 2i )| < 3
czyli dokładnie tak jak w schemacie
|z - z0| < r
teraz mamy z0 widoczne jak na dłoni:-)
Oto lekcja video, która pomoże Ci zrozumieć dokładnie o co chodzi w schemacie rozwiązywania nierówności z modułem liczby zespolonej:
Sedno sprawy, czyli pomysł na rozwiązanie nierówności z modułem zespolonym oraz "iz"
Potrafisz już rozwiązać nierówność z modułem typu
|z - z0| < r
Pytanie jak poradzić sobie z nierównością w której pojawia się to nieszczęsne "iz", czyli np.
|iz + 1 - 2i| < 3
Pomysł jest prostszy niż Ci się wydaje...:-) Wystarczy doprowadzić powyższą nierówność do tej znanej ze schematu - czyli tak, żeby nie było "iz" tylko samo "z". Można to zrobić na dwa różne sposoby:
SPOSÓB 1
1. Zauważmy, że |i| = |-i| = 1 (moduł jednostki urojonej wynosi 1). Wykorzystajmy to i pomnóżmy obie obie strony naszej nierówności właśnie przez |-i| (za chwilę zobaczysz dlaczego mnożymy przez |-i| a nie przez |i|...), czyli
|-i| |iz + 1 - 2i| < |-i| 3
2. Po lewej stronie nierówności korzystamy z własności modułu zespolonego, czyli
|z1| |z2| = |z1 z2|
u nas z1 = -i, z2 = iz + 1-2i
więc
|-i| |iz + 1 - 2i| = |(-i) (iz + 1 - 2i ) | = |z + (-i)(1 - 2i)| = |z - i - 2|
Stąd ostatecznie otrzymujemy nierówność:
|z - (2 + i)| < 3
do rozwiązania której wystarczy zastosować omówiony wcześniej schemat |z - z0| < r.
SPOSÓB 2
1. Wyciągamy i przed nawias:
|i (z + (1 - 2i) /i)| < 3
2. Korzystamy z własności modułu zespolonego, czyli
|z1 z2|=|z1| |z2|
u nas z1 = i, z2 = z + (1-2i)/i
stąd |i (z + (1 - 2i) /i) |=|i| |z + (1 - 2i)/i|
Ponieważ |i|=1, więc otrzymujemy nierówność
|z + ( 1 - 2i )/i| < 3
3. Jak widzisz jesteśmy już blisko znanego schematu. Teraz trzeba jeszcze tylko wykonać dzielenie liczb zespolonych
(1 - 2i) /i = 1/i - 2i/i = -i-2
stąd ostatecznie dochodzimy do łatwej nierówności
|z - (2 + i)| < 3
Zauważ, że nierówności otrzymane 2 sposobami są dokładnie takie same. Sam(-a) wybierz metodę, która Ci bardziej pasuje:-) Mam nadzieję, że wszystko zrozumiałeś(-aś)? Jak zwykle czekam na pytania w komentarzach pod tym postem.
